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Wissenschaft & Blödsinn Ich bin ein Lügner.

Falsch oder richtig?
Falsch oder richtig? - Foto: calic, fotolia
Wahr oder falsch? Eine Rutschpartie über logisches Glatteis.

Manche haben es schon vermutet, hiermit gebe ich es öffentlich zu: Was ich sage ist falsch. Dann muss aber auch ebendiese Aussage falsch sein, und somit ist das, was ich sage, nicht falsch, sondern richtig. Also was jetzt?

Der nachfolgende Satz ist falsch: Der vorangegangene Satz ist richtig.

Mit Sätzen, die etwas über sich selbst aussagen, lassen sich logische Widersprüche konstruieren. Und genau solche Sätze haben die Mathematik ganz schön durcheinandergewirbelt. Widersprüche sind schließlich etwas, das man in der Mathematik keinesfalls gebrauchen kann. Wenn das Ergebnis der Mathe-Hausaufgabe im Widerspruch zum offiziellen Ergebnis aus dem Lösungsheft steht, dann hat man sich verrechnet – oder im Lösungsheft ist ein Fehler. (Die Erfahrung lehrt: Meistens liegt es nicht am Lösungsheft.)

Bei Schulaufgaben ist das ärgerlich genug, aber wie bitter muss es erst sein, wenn man nach Jahren harter Arbeit eine logische Lücke in der eigenen Theorie entdeckt? So ging es Gottlob Frege, der Anfang des zwanzigsten Jahrhunderts die Mathematik sauber und widerspruchsfrei auf die reine Logik zurückführen wollte.

Frege benutze dabei die Mengenlehre. Eine Menge kann alles Mögliche enthalten, man kann zum Beispiel die Menge aller roten Autos definieren, oder die Menge aller ganzen Zahlen zwischen zwei und neun. Eine Menge kann auch andere Mengen enthalten, oder sogar sich selbst – zum Beispiel die Menge aller Mengen.

Frege war kurz davor, sein großes Werk „Grundgesetze der Arithmetik“ fertigzustellen, da bekam er einen Brief des jungen Mathematikers Bertrand Russell, der ihn auf ein ganz grundlegendes Problem aufmerksam machte: Wenn manche Mengen sich selbst enthalten und andere nicht, was ist dann mit der Menge all jener Mengen, die sich nicht selbst enthalten? Wenn sie sich selbst enthält, dann darf sie sich eigentlich nicht selbst enthalten, dann wiederum muss sie sich allerdings doch selbst enthalten – ein innerer Widerspruch.

Frege war tief getroffen: „Einem wissenschaftlichen Schriftsteller kann kaum etwas Unerwünschteres begegnen, als daß ihm nach Vollendung einer Arbeit eine der Grundlagen seines Baues erschüttert wird“, schrieb er. Von seiner Forschung an der Mengenlehre wandte er sich schließlich ab.

Die Suche nach der vollständigen, widerspruchsfreien Mathematik

Mit solchen logischen Schönheitsfehlern wollte der große Mathematiker David Hilbert schließlich ein für alle Mal aufräumen. Er rief in den 1920erjahren das „Hilbert-Programm“ aus: Aus ganz wenigen Axiomen, einfachen, unbestreitbaren Wahrheiten wie „jede natürliche Zahl hat einen Nachfolger“, sollte die gesamte Mathematik abgeleitet werden. Von jeder beliebigen mathematischen Aussage, und sei sie noch so kompliziert, sollte sich ausschließlich auf Basis der Grund-Axiome entscheiden lassen, ob sie wahr oder falsch ist. Die Mathematik sollte endlich auf festem Fundament stehen, unanfechtbar und eindeutig.

Doch diese Idee von der vollständigen, widerspruchsfreien Mathematik wurde schon einige Jahre später von einem jungen, schrulligen Logiker aus Wien zerstört: Kurt Gödel konnte beweisen, dass sich dieses große Ziel niemals erreichen lässt.

Formeln und Beweise sind irgendwie auch bloß Zahlen

Gödel zeigte, dass es einen Weg gibt, jede logische Aussage und jeden mathematischen Beweis in eine Zahl zu übersetzen, die sogenannte „Gödel-Nummer“. Man muss dabei den logischen Symbolen und Rechenoperationen auf geeignete Weise Zahlen zuordnen und sie passend aneinanderfügen. So entsteht eine Ziffernfolge, die entweder einfach als Zahl, oder aber als logische Aussage gelesen werden kann.

Das klingt ein bisschen seltsam, aber das Codieren von Information als Zahl ist für uns eigentlich etwas Alltägliches: Am Computer werden unsere Urlaubsvideos und unsere Terminkalender schließlich auch in gewissem Sinn als Zahl abgespeichert. Nach Gödels Regeln können eben auch logische Sätze wie „wenn man zwei gerade Zahlen addiert, erhält man wieder eine gerade Zahl“ als Zahl hingeschrieben werden.

Auf diese Weise kann man mathematische Sätze konstruieren, die nicht bloß etwas über Zahlen aussagen, sondern über andere mathematische Sätze – oder sogar über sich selbst. So gelang es Kurt Gödel, einen mathematischen Ausdruck zu formulieren, der besagt: „Es gibt keine Zahl, die die Gödel-Nummer eines Beweises dieser Aussage ist“ – oder, einfacher ausgedrückt: Er formulierte einen mathematischen Satz, der über sich selbst behauptet: „Ich bin nicht beweisbar“.

Wenn das nun wahr ist, dann gibt es einen wahren Satz in der Mathematik, der niemals bewiesen werden kann – somit ist die Mathematik nicht vollständig. Wenn allerdings die Aussage falsch ist, dann ist der Satz „Ich bin nicht beweisbar“ beweisbar – und widerspricht sich damit selbst.

Damit war der Traum von der widerspruchsfreien, vollständigen Mathematik ausgeträumt, Hilberts Programm war gescheitert. Jedes mathematische System, das zumindest eine sinnvolle Theorie der ganzen Zahlen enthält, muss zwangsläufig entweder widersprüchlich oder unvollständig sein – das ist Gödels „erster Unvollständigkeitssatz“. Daraus konnte Gödel noch seinen zweiten Unvollständigkeitssatz ableiten: Jedes ausreichend mächtige mathematische System kann die eigene Widerspruchsfreiheit nicht beweisen.

Mathematik ist kein Hokuspokus

Wer beim Nachdenken über solche Dinge logische Kopfschmerzen bekommt, sollte sich darüber nicht zu sehr ärgern: Auch einige der besten Mathematiker der Welt haben damals, als Gödel seine Erkenntnisse präsentierte, nicht gleich so richtig verstanden, was hier vor sich geht. Der Beweis für die Unvollständigkeitssätze lässt sich auch nicht so einfach in ein paar Worten hinschreiben. Um ihn richtig zu verstehen muss man sich durch etwas unhandliche Definitionen und lange Ableitungen kämpfen. Doch das Resultat ist jedenfalls bemerkenswert: Die mathematische Wahrheit hat nicht so eine einfache Struktur, wie man bis dahin gedacht hatte. Sie lässt sich nicht als vollständige, hübsch geordnete Theorie entwickeln, in der eine Wahrheit aus der anderen folgt und am Ende alles sauber und eindeutig in wahr und falsch eingeteilt ist.

Leider wurden Gödels Unvollständigkeitssätze immer wieder auch falsch verstanden, verzerrt und missbraucht. Manche Leute fühlen sich mit Wissenschaft nicht wohl, weil sie die eindeutige Klarheit, die aus der Mathematik kommt, nicht mögen. Für sie wirkt dann die Gödelsche Unvollständigkeit auf den ersten Blick wie ein Rettungsanker: Wenn die Mathematik also auch nicht ganz so vollständig und widerspruchsfrei ist, sind dann mathematische Aussagen vielleicht auch irgendwie eine Geschmacksfrage? Ist die Mathematik als exakte Wissenschaft, die klar in wahr und falsch trennt, etwa gescheitert? Sind Mathematik und Naturwissenschaft vielleicht doch irgendwie biegsam und knuddelig, wie ein astro-homöopathisches Plüsch-Einhorn?

Das ist ein bedauernswerter Missbrauch von Gödels Arbeit. Natürlich lässt sich aus Gödels Ergebnissen keine esoterische Beliebigkeit ableiten. Mathematische Wahrheiten bleiben noch immer unbestreitbare mathematische Wahrheiten. Niemand muss Angst haben, dass drei plus vier nun plötzlich ein bisschen auch zwölf sein könnte. Die Mathematik, die wir kennen und in der Naturwissenschaft täglich benötigen, lässt sich ganz wunderschön sauber beweisen, und kein wahrer Satz wird durch Gödel in Frage gestellt.

David Hilbert dachte, die Mathematik sei wie ein großes Netz mit vielen Knoten, das fest im Boden verankert ist und unüberblickbar weit in den Himmel hinaufragt. Von jeder mathematischen Wahrheit gelangt man durch eindeutige Rechenschritte zur nächsten, so wie man über die Seile des Netzes von einem Knoten zum nächsten kommt, und jeder Knoten ist vom festen Boden aus erreichbar. Doch seit Gödel wissen wir: Manche Knoten sind einfach da, ohne dass sich ihre Verbindung zum Boden finden lässt. Das ist aber kein Grund, auf diesem Netz nicht möglichst weit in den Himmel zu klettern. Mal sehen wohin uns das führt!  

Der Autor

Florian Aigner

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Foto: Florian Aigner
Florian Aigner ist Physiker und Wissenschaftserklärer. Er beschäftigt sich nicht nur mit spannenden Themen der Naturwissenschaft, sondern oft auch mit Esoterik und Aberglauben, die sich so gerne als Wissenschaft tarnen. Über Wissenschaft, Blödsinn und den Unterschied zwischen diesen beiden Bereichen schreibt er jeden zweiten Dienstag in der futurezone.

(futurezone) Erstellt am 06.05.2014, 06:00

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