Unendlich, unendlicher, unendlicherer

„Zwei Dinge sind unendlich“, soll Albert Einstein gesagt haben, “das Universum und die menschliche Dummheit, aber beim Universum bin ich mir noch nicht ganz sicher.“ Dabei hat er allerdings nicht erwähnt, dass es auch im Unendlichen gewisse Abstufungen gibt. Man kann sich Unendlichkeiten ausdenken, die noch unendlich viel unendlicher sind als andere Unendlichkeiten. Klingt nach Blödsinn, ist aber Wissenschaft.

Die Geschichte von Herrn Hilbert

Herr Hilbert besitzt ein ganz besonderes Hotel, es hat nämlich unendlich viele Zimmer. Darin sind unendlich viele Gäste untergebracht, jedes einzelne Zimmer ist belegt. Nun treffen aber noch zehn weitere Gäste ein. Was kann Herr Hilbert tun?

Die Gedankenspielerei von Hilberts Hotel (benannt nach dem großen Mathematiker David Hilbert) ist kein albernes Kinderrätsel, sondern ein wichtiges Stück Wissenschaft. Erst in den letzten hundertfünfzig Jahren hat man in der Mathematik einigermaßen verstanden, wie man mit der Unendlichkeit umgeht. Dabei ging es nicht immer ganz friedlich zu: Als „Verderber der Jugend“ beschimpfte man Georg Cantor, einen der größten Erforscher des Unendlichen, weil er seine ungewöhnlichen Theorien unterrichtete. Hätte er sich stattdessen mit Waldfeen und Kobolden beschäftigt, hätte man ihm das vielleicht als „uraltes Erfahrungswissen“ durchgehen lassen. Man soll seine Forschungsthemen immer sorgfältig wählen!

Was geschieht nun im vollbelegten unendlichen Hotel, wenn noch zehn weitere Gäste aufgenommen werden sollen? Kein Problem: Man bittet den Gast vom Zimmer 1 ins Zimmer 11 zu übersiedeln, Gast 2 kommt in Zimmer 12, Gast 3 in Zimmer 13 und so weiter. Jeder der unendlich vielen Gäste hat wieder ein Zimmer, und die ersten 10 Zimmer sind frei für die neuen Gäste.

Das bedeutet also: Unendlich plus zehn ist noch immer genauso unendlich wie vorher. Natürlich funktioniert dieser Trick auch, wenn statt zehn Gästen hundert oder eine Milliarde neue Gäste hinzukommen. Und wenn unendlich viele Gäste vor der Tür stehen? Auch kein Problem: Gast 1 wird ins Zimmer 2 übersiedelt, Gast 2 ins Zimmer 4, Gast 3 ins Zimmer 6 – jeder bekommt das Zimmer mit einer doppelt so hohen Zimmernummer wie vorher. Damit sind die unendlich vielen Gäste des Hotels in den Zimmern mit gerader Zimmernummer untergebracht, und die unendlich vielen ungeraden Zimmernummern sind frei für die unendlich vielen neuen Gäste.

Auch unendlich plus unendlich ist also noch immer genau dieselbe Art von unendlich wie vorher. Und Herr Hilbert hat einen zusätzlichen Hotel-Umsatz von unendlich vielen Euro erzielt, was ihm aber ziemlich egal sein wird, weil die Hotel-Einnahmen auch vorher schon unendlich hoch waren. Dafür muss er auch jeden Morgen unendlich viele Betten machen.

Überabzählbar unendlich

All diese Tricks funktionieren, weil man jedem Gast eine ganzzahlige Nummer zuordnen kann. Man spricht dann von „abzählbar unendlich vielen“ Gästen. Erstaunlicherweise gibt es aber noch andere Sorten von Unendlichkeit. Stellen wir uns vor, das Hotel ist leer, und nun kommen wieder unendlich viele Gäste, die aber diesmal nicht mit ganzen Zahlen nummeriert sind, sondern mit allen nur möglichen reellen Zahlen zwischen null und eins. Unendlich viele Nachkommastellen sind erlaubt.

Herr Hilbert weiß nicht recht, was er machen soll. Na gut, vielleicht gibt man den Gast mit Nummer null (also null komma null null null – mit unendlich vielen Nullen hinterm Komma) ins erste Zimmer. Doch was kommt danach? Es gibt keine „nächstgrößere“ reelle Zahl nach null. Egal, sagt Herr Hilbert, jeder soll sich selbst überlegen, welches Zimmer er möchte. Die Gäste sind etwas sauer, aber sie gehorchen, und bald sitzt tatsächlich in jedem Zimmer ein Gast mit einer Nummer zwischen null und eins, mit unendlich vielen Nachkommastellen. Doch wurden damit alle Gäste im Hotel untergebracht?

Nein – und das lässt sich recht einfach zeigen: Herr Hilbert geht nun durchs Hotel und notiert die erste Nachkommastelle des Gastes in Zimmer 1, dann geht er ins Zimmer 2 und notiert die zweite Nachkommastelle des Gastes dort, die dritte Nachkommastelle aus Zimmer 3 und so weiter. Damit bekommt er eine unendlich lange Ziffernfolge – und null komma diese Ziffernfolge ist ihrerseits wieder eine Zahl, die zu irgendeinem der Gäste gehören muss. Doch nun kommt der Trick: Herr Hilbert macht aus seiner unendlich langen Ziffernsammlung nun eine neue unendlich lange Ziffernsammlung, indem er jede einzelne Nachkommastelle ändert. Er kann zum Beispiel zu jeder Ziffer an jeder Stelle eins dazuzählen – und wenn es sich um eine Neun handelt, schreibt er stattdessen null.

Die Zahl, die er dadurch bekommt, ist nicht die Zahl des Gastes aus Zimmer 1, denn sie unterscheidet sich von der Zahl aus Zimmer 1 jedenfalls an der der ersten Nachkommastelle (und vermutlich auch noch an vielen anderen). Es ist auch nicht die Zahl des Gastes in Zimmer 2, denn bei der von ihm geänderten zweiten Nachkommastelle kann Hilberts neue Zahl mit der des Gastes nicht übereinstimmen. Herr Hilbert hat eine Zahl konstruiert, die im Hotel nicht vorkommt. Der Gast mit dieser Zahl steht daher noch irgendwo vor der Tür und ist sauer, weil er kein Zimmer bekommen hat.

Es gibt also zwischen null und eins mehr Zahlen als man durchnummerieren kann – mehr Zahlen als es natürliche Zahlen gibt. Egal, wie man die reellen Zahlen durchzunummerieren versucht, es lassen sich immer noch weitere Zahlen finden, die man nicht berücksichtigt hat. Die Menge der Zimmer in Hilberts Hotel ist zwar unendlich groß, doch die Menge der Zahlen zwischen null und eins, die Menge der Punkte auf einer Geraden oder die Menge der unterschiedlichen Dreiecke, die ich mit drei geraden Strichen zeichnen kann, ist noch unermesslich viel größer. Unendlich ist eben nicht unbedingt unendlich. Es gibt verschiedene Sorten von Unendlichkeiten: Die kleinste von ihnen ist die Unendlichkeit der ganzen Zahlen – doch es lassen sich Mengen konstruieren, die noch viel, viel größer sind. Und aus diesen Mengen lassen sich dann noch andere Mengen konstruieren, die noch einmal unvergleichlich viel größer sind. Das geht immer so weiter: Es gibt kein allerunendlichstes Unendlich, genausowenig wie es eine größte Zahl gibt.

Überabzählbar dumm

Ich glaube, mit der Dummheit ist das so ähnlich. Es gibt Dinge, die kommen uns unermesslich dumm vor. So richtig unfassbar unendlich dumm. So dumm, dass es gar keinen Unterschied macht, ob man dazu noch ein bisschen Dummheit dazuzählt oder nicht. Wenn zum Beispiel jemand telepathischen Kontakt mit den Außerirdischen aufzunehmen versucht, um sie zu fragen, wie sie die ägyptischen Pyramiden gebaut haben, dann ist das so dumm, dass es keinen Unterschied macht, ob er für die telepathische Verbindung ein Handy verwendet, einen Kommunikator aus Rosenquarz baut oder sich ein Stück Bananenschale in die Nase stopft. Völlig egal. Die Unendlichkeit in der Dummheit ist schon erreicht. Unendlich plus zwölf ist immer noch unendlich.

Doch mit Sicherheit trifft man dann doch irgendwann wieder auf jemanden, der mit seiner Dummheit alle bisherigen Kategorien der Unendlichkeit sprengt. Man muss nur Geduld haben. Oder fernsehen.

Florian Aigner ist Physiker und Wissenschaftserklärer. Er beschäftigt sich nicht nur mit spannenden Themen der Naturwissenschaft, sondern oft auch mit Esoterik und Aberglauben, die sich so gerne als Wissenschaft tarnen. Über Wissenschaft, Blödsinn und den Unterschied zwischen diesen beiden Bereichen schreibt er jeden zweiten Dienstag in der futurezone.