Mathematiker lösen 2.000 Jahre altes Rätsel

3 Mathematiker haben die Lösung für ein uraltes Problem gefunden, das künftig Berechnungen in Bereichen wie Kryptografie vereinfachen könnte.

Um zu verstehen, wie sie Ordnung ins mathematische Chaos brachten, braucht es ein paar Grundlagen. Wenn wir an Kurvendiagramme denken, sehen wir meist gerade oder geschwungene Linien vor uns, deren Punkte über die x- und y-Achse bestimmt werden. 

In der Mathematik gibt es allerdings auch deutlich komplexere Kurvenformen. Je nachdem, wie viele „Löcher“ sie haben, werden sie z.B. als Genus 1 (ein Loch, wie ein Donut), Genus 2 (2 Löcher, wie ein Unendlich-Zeichen) oder Genus 3 (3 Löcher, wie eine Brezel) bezeichnet.

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Suche nach rationalen Punkten

Auf diesen Kurven gibt es sogenannte „rationale Punkte“. Das sind jene Koordinaten, bei denen sowohl der Wert der x-Achse als auch der y-Achse ein Bruch sein kann – also ½, ¾ oder auch ganze Zahlen, die sich durch 1 teilen lassen (z.B. 5/1). 

Eine Herausforderung der Mathematik ist es, die genaue Anzahl solcher rationalen Punkte in verschiedenen Kurven zu finden. Dass diese immer komplexer werden, je höher der Genus-Wert ist, erschwert ihre Berechnung zunehmend. 

Obergrenze bestimmen

Hier kommt die Lösung von Jiawei Yu, Xinyi Yuan und Shengxuan Zhou ins Spiel. In ihrem Paper (hier einsehbar auf dem Preprint-Server arxiv) zeigen sie, dass die maximale Anzahl der rationalen Punkte in einer Kurve von deren Form, also dem Genus, abhängt. 

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Dass es eine solche Obergrenze gibt, ist keine Überraschung. Schon im antiken Griechenland befasste man sich mit rationalen Punkten. 1922 wurde mit der „Vermutung von Mordell“ die Theorie aufgestellt, dass sie bei Kurven endlich sind. 1983 folgte der Beweis dieser Theorie durch Gerd Faltings. Doch das sagte noch nichts darüber aus, wie viele Punkte es auf einer Kurve gibt, nur dass es überhaupt welche gibt. 

Daher wurde bisher davon ausgegangen, dass die maximale Anzahl der rationalen Punkte einer Kurve jeweils von deren spezifischer Gleichung abhängt. Je nachdem, wie diese Gleichung aufgebaut war, könnte es 10, 100 oder 10 Millionen rationale Punkte geben - ein scheinbares Chaos. Die neue Forschung beweist aber: Die Anzahl der Punkte hängt nur vom Genus, nicht von den Zahlen in der Gleichung ab. Anwenden lässt sich das auf alle Kurvenformen ab Genus 2. 

Dazu ein Gedankenspiel zum Verständnis: Man kann sich das Vorstellen wie Plätze in einem Stadion. Anstatt in jedes Stadion auf der Welt zu gehen und überall die einzelnen Sitzplätze zu zählen, lässt sich jetzt anhand ihrer Bauweise ableiten, wie viele Sitzplätze sie maximal haben können.

Datenverschlüsselung

Das ist natürlich vor allem in der Grundlagenforschung ein großer Fortschritt. Doch es gibt auch praktische Anwendungsgebiete, die dadurch verbessert werden können. Ein solches ist die Datenverschlüsselung. 

Bei der Übertragung von Daten kann eine solche Kurvenform in Zukunft als Basis genutzt werden. Je weniger rationale Punkte sie hat, desto schwieriger kann sie von Angreifern geknackt werden. Die neue Forschung kann dabei helfen, zu prüfen, wie sicher eine Verschlüsselung ist.