Teenager löst als erster kniffliges Primzahlen-Rätsel

Der US-Amerikaner Daniel Larsen ist kein normaler Teenager. Als 13-Jähriger designte er zum Beispiel als jüngste Person überhaupt ein Kreuzworträtsel für die New York Times. Jetzt, mit 17, haben es Primzahlen dem Teenager angetan.

Der kleine Fermat

Primzahlen sind bekanntlich Zahlen, die nur durch 1 und sich selbst teilbar sind. Es gibt unendlich viele Primzahlen, und für alle gilt der kleine fermatsche Satz. Dem Mathematiker Pierre de Fermat fiel nämlich schon im 17. Jahrhundert auf, dass wenn man eine ganze Zahl - egal welche - mit einer Primzahl potenziert und die Ausgangszahl wieder abzieht, das Ergebnis immer ein Vielfaches der Primzahl ist. 

Ein Beispiel gefällig? 3 ist eine Primzahl. Rechnet man etwa - willkürlich - 16³-16, erhält man die Zahl 4.080, die durch 3 teilbar ist. 16⁵-16 ergibt 1.048.560. Auch die Zahl ist durch die Primzahl 5 teilbar. 13⁵-13? 371.280, was sich auch durch 5 teilen lässt. So geht es mit allen Zahlen und Primzahlen weiter.

So weit, so gut. Aber es gibt auch Pseudo-Primzahlen, wie etwa die Carmichael-Zahlen. Solche, die aussehen wie Primzahlen und bei denen auch der kleine Fermat anwendbar ist, aber keine Primzahlen sind. Die kleinste Carmichael-Zahl ist 561, die nächstkleinere 41.041 und so weiter und so fort.

Unendlich viele Pseudoprimzahlen

Mathematiker*innen gelang es erst in der Mitte der 90er-Jahre zu beweisen, dass es auch unendlich viele Pseudoprimzahlen gibt. Zu verstehen, wie diese Zahlen verteilt sind, war eine noch größere Herausforderung. Hier kommt der 17-jährige Larsen ins Spiel. 

Larsen gelang ein neuer Beweis, der genau das untersucht. Das Kind eines Mathematikers und einer Mathematikerin machte es sich zur Aufgabe, mehr über die Pseudoprimzahlen herauszufinden. Kommen sie in bestimmten Abständen vor oder liegen sie willkürlich weit auseinander? Bisher konnte das niemand so genau sagen. 

Im November 2021 öffnete der Mathematiker Andrew Granville - einer von 3 Forschern, die 1994 herausgefunden hatten, dass es unendlich viele Pseudoprimzahlen gab - eine E-Mail von Larsen. Im Anhang fand sich ein Beweis zur Verteilung der Carmichael-Zahlen, der zur Überraschung Granvilles Hand und Fuß hatte.

Pseudoprimzahlen schwächen Kryptografieverfahren

Alles nur eine Spielerei? Nicht ganz. Es gibt noch viele Fragen rund um die Pseudoprimzahlen, und viele davon sind für das Feld der Kryptografie interessant. Moderne Kryptografie, also Verschlüsselungsverfahren, nutzen nämlich große Primzahlen, um Nachrichten zu verschlüsseln. Am besten findet man solche Primzahlen mit dem kleinen fermatschen Satz, der aber keine Pseudoprimzahlen herausfiltern kann. Das kann wiederum zu einer schlechteren Verschlüsselung führen.

"Larsens Arbeit entspricht der eines Top-Doktoranden einer Top-Universität", sagt Mathematiker Granville. "In den USA gibt es immer wieder mathematische Wunderkinder, aber Larsen sticht auch unter ihnen heraus."

Der Jugendliche besucht mittlerweile das Massachusetts Institute of Technologie und studiert dort - wie könnte es anders sein - Mathematik. Wohin ihn seine mathematische Reise führen wird, ist noch nicht klar. Man darf aber gespannt sein.